| Geleitwort | 6 |
| Danksagung | 8 |
| Inhaltsverzeichnis | 9 |
| Abbildungsverzeichnis | 13 |
| Tabellenverzeichnis | 17 |
| Anhangsverzeichnis | 18 |
| Zusammenfassung | 19 |
| 1 Einleitung | 21 |
| 1.1 Fragestellung und Zielsetzung | 23 |
| 1.2 Aufbau der Arbeit | 24 |
| 2 Mathematisches Modellieren | 25 |
| 2.1 Ziele des mathematischen Modellierens | 26 |
| 2.2 Mathematisches Modellieren in den Bildungsstandards | 27 |
| 2.3 Beschreibung von Modellierungsprozessen | 28 |
| 2.4 Modellierungsaufgaben zum Satz des Pythagoras | 32 |
| 2.4.1 Der Satz des Pythagoras und seine Anwendung | 33 |
| 2.4.2 Modellierungsaufgaben | 34 |
| 2.5 Schwierigkeiten und Strategien beim mathematischen Modellieren | 45 |
| 2.6 Effektive Lernumgebungen für das mathematische Modellieren | 48 |
| 2.7 Zusammenfassung | 50 |
| 3 Visualisierung und selbst erstellte Skizzen | 51 |
| 3.1 Repräsentationen | 51 |
| 3.2 Externe und interne Repräsentationen | 54 |
| 3.3 Deskriptionale und depiktionale Repräsentationen | 55 |
| 3.4 Visualisierungen | 56 |
| 3.5 Selbst erstellte Skizzen als Visualisierungen | 58 |
| 3.6 Zur Rolle von Visualisierungen in der Mathematik | 59 |
| 3.7 Zur Rolle von Visualisierungen im Mathematikunterricht | 61 |
| 3.8 Zusammenfassung | 62 |
| 4 Selbst erstellte Skizzen als Problemlösestrategie | 64 |
| 4.1 Problemlösen | 64 |
| 4.2 Problemlösestrategien | 68 |
| 4.3 Strategieerwerb | 71 |
| 4.4 Strategieaufforderung im Angebots-Nutzungsmodell | 74 |
| 4.5 Zusammenfassung | 76 |
| 5 Skizzen beim mathematischen Modellieren | 77 |
| 5.1 Wirkmechanismen | 77 |
| 5.1.1 Entlastung des Arbeitsgedächtnisses | 78 |
| 5.1.2 Verstehen | 78 |
| 5.1.3 Gewinnen von neuen Informationen | 81 |
| 5.1.4 Überwachen und Regulieren | 83 |
| 5.1.5 Kommunizieren | 83 |
| 5.2 Wirksamkeit | 84 |
| 5.3 Einflussfaktoren der Wirksamkeit | 86 |
| 5.3.1 Qualität einer Skizze | 87 |
| 5.3.2 Realitätsbezug einer Skizze | 90 |
| 5.3.3 Nutzung einer Skizze | 93 |
| 5.3.4 Weitere Einflussfaktoren | 95 |
| 5.4 Zusammenfassung | 99 |
| 6 Fragestellung | 102 |
| 7 Erhebungsmethode | 106 |
| 7.1 Begründung der qualitativen Forschungsperspektive | 106 |
| 7.2 Datenerhebung | 107 |
| 7.3 Auswahl der Versuchspersonen | 112 |
| 7.4 Aufgabenauswahl | 115 |
| 8 Auswertungsmethode | 117 |
| 8.1 Prinzipien der qualitativen Inhaltsanalyse | 117 |
| 8.2 Anwendung der typenbildenden qualitativen Inhaltsanalyse | 119 |
| 8.2.1 Aufbereitung der Daten | 119 |
| 8.2.2 Die inhaltlich strukturierende qualitative Inhaltsanalyse | 121 |
| 8.2.3 Die Typenbildung | 136 |
| 8.2.4 Gütekriterien | 139 |
| 9 Ergebnisse | 145 |
| 9.1 Fallbeschreibungen zur Feuerwehr-Aufgabe | 145 |
| 9.1.1 Manuel und Lukas | 147 |
| 9.1.2 Judith und Jana | 153 |
| 9.1.3 Amelie und Lisa | 161 |
| 9.1.4 Christina und Sarah | 170 |
| 9.1.5 Annika und Nadine | 177 |
| 9.2 Fallbeschreibungen zur Trinkpäckchen-Aufgabe | 184 |
| 9.2.1 Manuel und Lukas | 185 |
| 9.2.2 Judith und Jana | 191 |
| 9.2.3 Amelie und Lisa | 199 |
| 9.2.4 Christina und Sarah | 205 |
| 9.2.5 Annika und Nadine | 212 |
| 9.3 Ergebnisse der inhaltlich strukturierenden qualitativen Inhaltsanalyse | 222 |
| 9.3.1 Zusammenfassung der Fallbeschreibungen | 222 |
| 9.3.2 Qualität der Skizzen | 224 |
| 9.3.3 Realitätsbezug der Skizzen | 225 |
| 9.3.4 Nutzung der Skizzen | 226 |
| 9.4 Ergebnisse der Typenbildung | 242 |
| 9.4.1 Verfahren der Typenbildung | 242 |
| 9.4.2 Beschreibung der Typen und Fallzuordnung | 243 |
| 9.4.3 Repräsentative Fallinterpretationen | 246 |
| 9.4.4 Zusammenhänge der Skizzennutzung beim Mathematisieren mit sekundären Merkmalen | 250 |
| 9.4.5 Zusammenhänge der Modellierungsleistung mit sekundären Merkmalen | 254 |
| 10 Diskussion | 258 |
| 10.1 Diskussion der Ergebnisse und Hypothesengenerierung | 259 |
| 10.1.1 Qualität der Skizzen | 259 |
| 10.1.2 Realitätsbezug der Skizzen | 262 |
| 10.1.3 Nutzung der Skizzen | 264 |
| 10.1.4 Zusammenhänge der Skizzennutzung beim Mathematisieren mit sekundären Merkmalen | 275 |
| 10.1.5 Zusammenhänge der Modellierungsleistung mit sekundären Merkmalen | 279 |
| 10.1.6 Zusammenfassung | 284 |
| 10.2 Grenzen der Studie | 286 |
| 10.3 Implikationen für die Forschung | 289 |
| 10.4 Implikationen für die Unterrichtspraxis | 291 |
| 11 Schlusswort | 301 |
| Literaturverzeichnis | 303 |
| Anhang | 316 |
