Einleitung
Für viele Lernende, die sich mit dem Thema Differenzialgleichungen beschäftigen, ist der einzige Kontakt zu diesem äußerst umfangreichen und interessanten Bereich der Mathematik ein 800 Seiten dickes, schweres Lehrbuch. Und meistens kämpfen sie sich recht lustlos durch diesen Riesenwälzer.
Hat wirklich nie jemand darüber nachgedacht, ein Buch über Differenzialgleichungen für den Leser zu schreiben? Aber ja doch – und genau deshalb liegt dieses Buch vor Ihnen.
Über dieses Buch
In Differenzialgleichungen für Dummies geht es um Differenzialgleichungen aus Ihrer Perspektive. Ich habe viele Studenten beobachtet, die sich auf die übliche Weise mit Differenzialgleichungen abkämpfen. Die meisten von ihnen sind sich einig: Sie wissen überhaupt nicht, womit sie so eine Strafe verdient haben.
Dieses Buch ist anders. Statt aus der Perspektive eines Lehrers ist es aus der Perspektive des Lesers geschrieben. Dieses Buch soll die wichtigen Dinge vermitteln, und nur die wichtigen Dinge. Auf alles Überflüssige wurde verzichtet, das heißt, die Dinge sind in aller Einfachheit und Klarheit dargestellt. In diesem Buch finden Sie Methoden, die Lehrern und Dozenten die Aufgabenlösung einfacher machen.
Sie können das Buch in beliebiger Reihenfolge durcharbeiten. Mit anderen Worten, es spielt keine Rolle, ob Sie von vorne nach hinten lesen. Wie andere Dummies-Bücher ist auch dieses Buch so aufgebaut, dass Sie so viel wie möglich darin herumblättern können – es ist Ihr Buch, und die Differenzialgleichungen liegen Ihnen damit zu Füßen.
Konventionen in diesem Buch
Einige Bücher verwenden Dutzende von Konventionen, die Sie kennen müssen, bevor Sie überhaupt anfangen können, zu lesen. Hier ist das anders. Es gibt einige wenige einfache Konventionen, die Ihnen helfen, sich in diesem Buch zurechtzufinden:
- Kursivschrift kennzeichnet Definitionen und hebt wichtige Wörter hervor. Wie in der Welt der Mathematik üblich, werden auch Variablennamen kursiv dargestellt.
Kursivschrift verwende ich aber auch bei betonten Wörtern, zum Beispiel
»Mama, ich will einen Hund!« (und nicht etwa eine Katze)
»Papa, ich will einen Hund!« (und nicht etwa zwei oder drei)
- Fettschrift kennzeichnet wichtige Sätze, Matrizen (Zahlenfelder), Schlüsselwörter in Aufzählungen sowie Aktionen in nummerierten Schritten.
Courierschrift kennzeichnet Webadressen.
Beim Druck dieses Buchs mussten einige Webadressen auf zwei Textzeilen umbrochen werden. In diesen Fällen habe ich keine zusätzlichen Zeichen (wie etwa Trennstriche) eingefügt, um die Trennung zu kennzeichnen. Wenn Sie also eine dieser Webadressen verwenden, geben Sie genau das ein, was in diesem Buch abgedruckt ist, und tun so, als ob es den Zeilenumbruch gar nicht gäbe.
Was Sie nicht lesen müssen
Im gesamten Buch habe ich immer wieder Informationen eingestreut, die interessant für Sie sein können, die aber keine Voraussetzung dafür sind, dass Sie bestimmte Aspekte der Differenzialgleichungen verstehen. Sie finden diese Informationen entweder in einem Einschub (ein grau unterlegtes Feld) oder mit dem Symbol »Achtung, Technik!« gekennzeichnet. Ich bin Ihnen nicht böse, wenn Sie diese Textstellen überblättern – wirklich nicht.
Törichte Annahmen über den Leser
Dieses Buch geht davon aus, dass Sie keine Erfahrung mit der Lösung von Differenzialgleichung mitbringen. Vielleicht sind Sie ein Schüler, der sich gerade neu in einen Kurs zu Differenzialgleichungen eingeschrieben hat, und brauchen ein bisschen zusätzliche Unterstützung, um alles zu verstehen. Vielleicht studieren Sie aber auch Physik, Chemie, Biologie, Wirtschaftswissenschaft oder Ingenieurswesen und benötigen Informationen zu Differenzialgleichungen, um Ihren Fachbereich besser zu verstehen.
Für die Arbeit mit Differenzialgleichungen brauchen Sie ein gewisses Vorwissen aus der Analysis. Sie sollten beispielsweise wissen, was eine Funktion ist und wie elementare Funktionen aussehen. Wenn Sie davon keine Ahnung haben, empfehle ich Ihnen das Buch Analysis für Dummies von Mark Ryan (Wiley), bevor Sie dieses Buch lesen. Die beiden wichtigsten Fähigkeiten im Umgang mit Differenzialgleichungen sind das Differenzieren (Ableiten) und das Integrieren (Aufleiten). Diese werden zusammen mit den komplexen Zahlen und den wichtigsten Eigenschaften über Matrizen in Teil I ausführlich wiederholt. Dann dürfte nichts mehr schiefgehen.
Wie dieses Buch aufgebaut ist
Die Welt der Differenzialgleichungen ist wirklich riesig. Um dies zu berücksichtigen, habe ich das Thema in einzelne Teile zerlegt. Hier die verschiedenen Teile, die Ihnen in diesem Buch begegnen:
Teil I: Was Sie alles brauchen – die Zutaten
Ich beginne das Buch bewusst mit dem wichtigen Handwerkszeug, das Sie brauchen, um mit Differenzialgleichungen umgehen zu können. Dazu gehören in erster Linie die beiden Grundfertigkeiten Differenzieren und Integrieren. Womöglich sagen Sie nun, dass Sie das längst beherrschen. Umso besser. Dann können Sie hier zügig weiterblättern. Oder aber Sie vergewissern sich doch noch mal kurz, ob Sie die Sache mit den Stammfunktionen noch drauf haben. Das gilt auch für den Umgang mit komplexen Zahlen, die gleich im Anschluss vorgestellt werden. Der Teil schließt mit Matrizen und Eigenwertproblemen, da Sie diese benötigen, wenn Sie Differenzialgleichungssysteme verstehen wollen.
Teil II: Es wird spannend – Differenzialgleichungen erster Ordnung
Nun geht es los mit den Differenzialgleichungen. In diesem Teil werden sie vorgestellt und klassifiziert. Dann widme ich mich den Differenzialgleichungen erster Ordnung – das heißt Differenzialgleichungen, die Ableitungen in der ersten Potenz enthalten. Sie lernen, wie Sie mit linearen Differenzialgleichungen erster Ordnung umgehen (linear bedeutet, dass die Ableitungen nicht quadratisch, kubisch usw. sind). Außerdem erfahren Sie, was mit separierbaren Differenzialgleichungen erster Ordnung zu tun ist: Diese können separiert werden, sodass nur Terme mit y auf der einen Seite und Terme mit x auf der anderen Seite vorkommen. In diesem Teil erfahren Sie schließlich auch, was exakte Differenzialgleichungen sind. Mithilfe dieser Gleichungen können Sie versuchen, eine Funktion zu finden, deren partielle Ableitungen den Termen in der Differenzialgleichung entsprechen (wodurch die Lösung der Gleichung sehr viel einfacher wird).
Teil III: Differenzialgleichungen höherer Ordnung und fortgeschrittene Techniken
In diesem Teil gehe ich einen Schritt weiter und erkläre Ihnen den Umgang mit Differenzialgleichungen höherer Ordnung. Ich unterteile die Gleichungen in zwei Haupttypen: lineare homogene Gleichungen und lineare inhomogene Gleichungen. Außerdem werden Sie zahlreiche interessante Techniken kennenlernen, die in diesem Bereich eingesetzt werden können, wie etwa die Methode der unbestimmten Koeffizienten oder die Methode der Parametervariation. Aber damit nicht genug:
Einige Differenzialgleichungen sind schwieriger als andere. Ich zeige Ihnen die richtig schwierigen Brocken. Sie werden leistungsfähige Techniken kennenlernen, wie etwa Laplace-Transformationen und Reihenlösungen, und Sie fangen an, mit Differenzialgleichungssystemen zu arbeiten. Außerdem erfahren Sie, wie Sie numerische Methoden einsetzen, um Differenzialgleichungen zu lösen. Dies sind die Methoden für den letzten Ausweg, aber sie funktionieren fast immer.
Teil IV: Der Top-Ten-Teil
In allen Dummies-Büchern gibt es einen Top-Ten-Teil. Dieser Teil besteht aus knappen Auflistungen aller möglichen Dinge. In diesem Buch finden Sie zehn Onlineseminare zum Thema Differenzialgleichungen sowie zehn Onlinewerkzeuge für die Lösung von Differenzialgleichungen.
Symbole, die in diesem Buch verwendet werden
In den Randspalten dieses Buchs begegnen Ihnen immer wieder Symbole. Sie bedeuten Folgendes:
Dieses Symbol markiert Dinge, die Sie sich merken sollten, wie beispielsweise ein Gesetz für Differenzialgleichungen oder eine besonders interessante Gleichung.
Der Text neben diesem Symbol ist technischer Natur und für Insider vorgesehen. Sie müssen ihn nicht lesen, wenn Sie nicht wollen, aber wenn Sie Fachmann für Differenzialgleichungen werden wollen (und wer will das nicht?), sollten Sie einen Blick darauf werfen.
Dieses Symbol macht Sie auf hilfreiche Tipps bei der Lösung von Differenzialgleichungen aufmerksam. Wenn Sie nach Abkürzungen suchen, dann achten Sie unbedingt auf diese Symbole!
Wenn Sie dieses Symbol sehen, passen Sie gut auf! Es weist auf etwas besonders Kompliziertes hin, auf das Sie achten sollten.
Wie es weitergeht
Wenn Sie mutig sind, dann blättern Sie nun um!
Wenn Sie nicht so mutig sind, blättern Sie einfach auch um. Sie werden sehen, die nächste Seite ist noch ganz harmlos. Und die...
