| Vorwort | 6 |
| Inhaltsverzeichnis | 8 |
| Teil I Kontexte für ein sinnstiftendes Mathematiklernen | 11 |
| 1 Experimentell zum Funktionalen Denken – auch in der Grundschule? | 12 |
| 1.1 Einleitung | 13 |
| 1.2 Potentielle Schwierigkeiten mit dem Funktionalen Denken | 14 |
| 1.3 Zentrale Aspekte des Funktionsbegriffs | 15 |
| 1.3.1 Grundvorstellungen von Funktionen | 16 |
| 1.3.2 Darstellungsformen von Funktionen | 17 |
| 1.4 Mathematisches Experimentieren in der Grundschule fördert die Entwicklung des Funktionalen Denkens | 17 |
| 1.5 Zwei Experimente zur Anbahnung Funktionalen Denkens | 20 |
| 1.5.1 Experiment Geburtstagskerze: Wie lange brennt die Kerze? | 20 |
| 1.5.2 Experiment Bewegung aufzeichnen: Wie sieht der Graph zu meiner Bewegung aus? | 21 |
| 1.5.3 Erfahrungen mit der Durchführung | 23 |
| 1.6 Fazit | 24 |
| 1.7 Zum Abschluss | 24 |
| Literatur | 25 |
| 2 Fermi-Aufgaben in Vergleichsarbeiten in Klasse 8 – Kriterien und Ergebnisse | 27 |
| 2.1 Einführung | 28 |
| 2.2 Aufgaben in Tests | 28 |
| 2.3 Fermi-Aufgaben | 29 |
| 2.4 Kriterien für Fermi-Aufgaben in Tests | 30 |
| 2.5 Fragestellung und Methode | 34 |
| 2.6 Ergebnisse | 36 |
| 2.7 Diskussion | 37 |
| 2.8 Fazit | 39 |
| Literatur | 39 |
| 3 Auf rationale Weise zur Irrationalität | 41 |
| 3.1 Die Entdeckung des Irrationalen und ihre historischen Folgen | 42 |
| 3.2 Der Logos – das durchwirkende Prinzip | 44 |
| 3.3 Die Rationalität in der Entdeckung des Irrationalen | 45 |
| 3.4 Schritte und Hindernisse auf dem Weg zur Zahlwerdung | 45 |
| 3.5 Bedeutungswandel des Begriffes „Irrationalität“ in der Philosophie | 47 |
| 3.6 Irrationale Zahlen im Mathematikunterricht – eine Bildungschance? | 48 |
| 3.7 Nachbetrachtung: ein aktueller lebensweltlicher Bezug des Themas | 51 |
| Literatur | 52 |
| 4 Durchgängige Kontextorientierung in allen Unterrichtsphasen des Mathematikunterrichts | 54 |
| 4.1 Kontexte | 56 |
| 4.2 Kontextorientierung während des Erkundens | 57 |
| 4.3 Kontextorientierung während des Ordnens | 61 |
| 4.4 Abschließende Diskussion | 64 |
| Literatur | 66 |
| 5 Grundvorstellungen versus Concept Image? Gemeinsamkeiten und Unterschiede beider Theorien am Beispiel des Funktionsbegriffs | 68 |
| 5.1 Einleitung | 69 |
| 5.2 Grundvorstellungen | 69 |
| 5.3 Concept Image und Concept Definition | 73 |
| 5.4 Zusammenhang beider Theorien | 77 |
| Literatur | 80 |
| 6 Wahrscheinlich oder wahrscheinlich nicht? Aufbau eines vorstellungsorientierten Wahrscheinlichkeitsbegriffs in der Primarstufe und den Sekundarstufen | 83 |
| 6.1 Vorstellungen zur Wahrscheinlichkeit | 84 |
| 6.2 Didaktische Überlegungen und Rolle des Rechners und der Sprache | 88 |
| 6.3 Unterrichtliche Umsetzung in der Primarstufe und der Sekundarstufe I | 91 |
| 6.4 Ausblick in die Sekundarstufe II | 95 |
| 6.5 Zusammenfassung und Ausblick | 95 |
| Literatur | 96 |
| 7 Kriteriengeleitetes Arbeiten – ein Aufgabenformat zur Förderung von selbstreguliertem Lernen im Mathematikunterricht | 97 |
| 7.1 Selbstregulation | 98 |
| 7.2 Kriteriengeleitetes Arbeiten | 100 |
| 7.3 Kriteriengeleitetes Arbeiten – ein Format, die Selbstregulation zu stärken | 105 |
| 7.4 Fazit | 107 |
| Literatur | 108 |
| 8 Ein erster Zugang zur Scheduling-Theorie – paradigmatisch erschlossen | 110 |
| 8.1 Was man über Scheduling-Theorie wissen sollte | 111 |
| 8.2 Ein paradigmatisches Beispiel zur Scheduling-Theorie nach French (1982) | 113 |
| 8.3 Bearbeitungsschritte für die Aufgabenlösung | 117 |
| 8.3.1 Endlich heißt nicht immer überschaubar | 117 |
| 8.3.2 Abschätzungen helfen uns weiter | 118 |
| 8.4 Was konstituiert ‚paradigmatische Beispiele‘? | 121 |
| 8.5 Schlussfolgerungen | 122 |
| Literatur | 123 |
| Teil II Mit digitalen Werkzeugen Mathematik erlebbar machen | 124 |
| 9 Technology-supported classrooms: New opportunities for communication and development of mathematical understanding | 125 |
| 9.1 Introduction: Technology provides opportunities | 126 |
| 9.2 Technology supports mathematical communication | 127 |
| 9.3 Technology promotes cognitive activities | 129 |
| 9.4 Technology supports an open classroom | 130 |
| 9.5 Conclusion | 131 |
| References | 132 |
| 10 „Der Computer zwingt uns zum Nachdenken“ – Beispiele aus der Analysis | 134 |
| 10.1 Grenzwerte durch Einsetzungen „bestimmen“? | 136 |
| 10.2 Ein genetischer Weg von Testeinsetzungen zur „h-Methode“ | 139 |
| 10.3 Testeinsetzungen mit einem „Arbitrary-Precision-Rechner“ | 141 |
| 10.4 Grenzwerte mithilfe spezieller Folgen untersuchen | 141 |
| 10.5 Funktionen, die der Rechner nicht unterscheiden kann | 142 |
| 10.6 Artefakte beim numerischen Integrieren | 143 |
| 10.7 Phänomene beim numerischen Lösen von Gleichungen | 145 |
| 10.8 Fazit | 147 |
| Literatur | 148 |
| 11 Ergebnisse aus Stundenprotokollen im niedersächsischen Projekt CALiMERO zum CAS-Einsatz in der Sekundarstufe I | 149 |
| 11.1 Ziele und Inhalte sowie Forschungsinteressen des Projekts CAliMERO | 150 |
| 11.2 Schülerbeobachtung von Unterricht in der Unterrichtsforschung | 151 |
| 11.3 Das Stundenprotokoll zum Mathematikunterricht im Projekt CAliMERO | 153 |
| 11.4 Ergebnisse der Stundenprotokolle Klasse 9: Methodenvielfalt erfassen | 156 |
| 11.5 Zusammenhang zwischen Methodenvielfalt und Leistung | 159 |
| 11.6 Zusammenhang zwischen Rechnereinsatz bzw. Kopfübungen und Leistung | 160 |
| 11.7 Ergebnisse der Stundenprotokolle: Zusammenfassung und Fazit | 162 |
| Literatur | 163 |
| 12 Head in the clouds, feet on the ground – A realistic view on using digital tools in mathematics education | 165 |
| 12.1 The first adopters’ optimism | 166 |
| 12.2 Handheld graphing and computer algebra tools | 167 |
| 12.3 In search for theoretical lenses | 169 |
| 12.4 How about teachers? | 170 |
| 12.5 Implementation is hard | 172 |
| 12.6 The future is now | 174 |
| Literature | 176 |
| 13 Der Rechner als Erzeuger von Phänomenen für das Entdecken und Beschreiben mathematischer Muster | 179 |
| 13.1 Einleitung | 180 |
| 13.2 Erkennen und Beschreiben von Strukturen als Betreiben von Mathematik | 180 |
| 13.2.1 Das Muster Mittenviereck | 181 |
| 13.2.2 Muster mit und ohne Bedeutung für den Theorieaufbau | 183 |
| 13.2.3 Arithmetische Muster | 185 |
| 13.2.4 Muster in Daten | 187 |
| 13.2.5 Muster in Funktionen | 188 |
| 13.2.6 Muster in Matrizen | 189 |
| 13.3 Diskussion | 191 |
| Literatur | 191 |
| 14 Think Big! – Funktionales Denken mit Big Data | 193 |
| 14.1 Was heißt denn hier „big“? | 194 |
| 14.2 Das digitale Werkzeug | 195 |
| 14.3 Ein Bild von Cäsar | 197 |
| 14.4 Der Funktionsgraph als weitere Darstellungsebene | 199 |
| 14.5 Eine für alle – alle für eine | 200 |
| 14.6 Alle für eine – eine für alle – alle für eine | 203 |
| 14.7 Fazit | 204 |
| Literatur | 205 |
| 15 Mathematikunterricht mit digitalen Werkzeugen – Eine persönliche Bilanz von 25 Jahren Einsatz im Unterricht | 206 |
| 15.1 Erste Begegnungen mit digitalen Werkzeugen | 207 |
| 15.2 Praktische Umsetzung im Unterricht – Einige unserer „Highlights“ | 208 |
| 15.2.1 Die Parabelwerkstatt – Stationenlernen mit DGS/GTR/CAS-Einsatz | 209 |
| 15.2.2 Das ABC der ganzrationalen Funktionen – Eine Lernwerkstatt mit GTR/CAS-Einsatz | 210 |
| 15.2.3 Mathematik auf dem Bahnhof – Begriffsbildung | 210 |
| 15.2.4 Das Weizenbierglas – Modellbildung | 212 |
| 15.2.5 Matrizen in der Analytische Geometrie | 213 |
| 15.2.6 Neue Formate in der Lehrerfortbildung – Webinare | 216 |
| 15.3 Ein Land entscheidet sich, CAS verbindlich bis zum Abitur einzusetzen | 217 |
| 15.4 Fazit | 217 |
| Literatur | 219 |
| 16 Mathematik erkunden und verstehen mit unterrichtsintegrierten Lern-Apps – Fachdidaktische Kriterien für die kognitive Aktivierung und Verstehensunterstützung | 220 |
| 16.1 Einführung | 221 |
| 16.2 Simulationen für das kognitiv aktivierende Erkunden in sinnstiftenden Kontexten | 222 |
| 16.3 Beispiele aus den KOSIMA-Apps | 224 |
| 16.4 Fazit und offene Fragen | 230 |
| Literatur | 230 |
| 17 Digitale Werkzeuge im Mathematikunterricht – Konzepte, empirische Ergebnisse und Desiderate | 233 |
| 17.1 Ziele und Bedingungen eines erfolgreichen Einsatzes digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht | 234 |
| 17.2 Didaktisches Tetraeder – Ein Modell zur Analyse des Einsatzes digitaler Werkzeuge | 235 |
| 17.3 Ansätze zur Gestaltung des Einsatzes digitaler Werkzeuge | 237 |
| 17.3.1 Grundsätzliche Einsatzszenarien für die selbstständige Nutzung von digitalen Werkzeugen durch Schülerinnen und Schüler | 238 |
| 17.3.2 Einige Gestaltungsprinzipien und Einsatzmethoden zur Nutzung digitaler Werkzeuge im Rahmen von Lernumgebungen | 241 |
| 17.4 Ausgewählte empirische Ergebnisse und Forschungsdesiderate zum Einsatz digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht | 244 |
| Literatur | 246 |
| 18 Wie digitale Medien funktionales Denken unterstützen können – Zwei Beispiele | 249 |
| 18.1 Warum funktionales Denken fördern? | 250 |
| 18.2 Theoretischer Hintergrund | 250 |
| 18.2.1 Funktionales Denken | 250 |
| 18.2.2 Digitale Medien | 252 |
| 18.3 Beispiel 1: Darstellungswechsel von Situation zu Graph mit verlinkten Simulationen sowie multiplen Darstellungen anregen | 254 |
| 18.4 Beispiel 2: Parameter quadratischer Funktionen mit statischen und dynamischen Darstellungen konzeptualisieren | 257 |
| 18.5 Fazit | 260 |
| Literatur | 260 |
| Teil III Mit Lehrerfortbildungen Mathematikunterricht zeitgemäß gestalten | 263 |
| 19 Grundlagen algebraischen Denkens beim Übergang von der Arithmetik in die Algebra – Entwicklung und Erprobung einer Lehrerfortbildung | 264 |
| 19.1 Ursprung der professionellen Lerngemeinschaft zur Fortbildungsentwicklung | 265 |
| 19.2 Fortbildungsentwicklung | 265 |
| 19.2.1 Didaktik der elementaren Algebra – Fachliche und fachdidaktische Klärung | 266 |
| 19.2.2 Bedarfsanalyse | 267 |
| 19.2.3 Didaktische Strukturierung | 268 |
| 19.2.4 Entwicklung der Tiefenstruktur | 269 |
| 19.2.5 Entwicklung der Sichtstruktur (Baustein 1) | 271 |
| 19.3 Evaluation und Reflexion des ersten Bausteins | 273 |
| 19.3.1 Evaluation des Bausteins 1 | 273 |
| 19.3.2 Mögliche Implikationen | 275 |
| 19.4 „Hilft das Schülerinnen und Schülern?“ – Diskussion und Ausblick | 276 |
| Literatur | 277 |
| 20 Der Herausforderung der Digitalisierung im Mathematikunterricht in Fortbildungen begegnen | 279 |
| 20.1 Einleitung | 280 |
| 20.2 Wirksamkeit von Fortbildungen zum Einsatz digitaler Werkzeuge | 281 |
| 20.3 Videofallbasiertes Lernen in Fortbildungen | 283 |
| 20.4 Beschreibung der Professionalisierungsprozesse von Multiplikatorinnen und Multiplikatoren | 285 |
| 20.5 State of the art – Wo stehen aktive Multiplikatorinnen und Multiplikatoren hinsichtlich des Einsatzes digitaler Werkzeuge im Mathematikunterricht? | 288 |
| 20.6 Fazit und Ausblick | 289 |
| Literatur | 290 |
| 21 Problemlösestrategien lehren lernen – Wo die Praxis Probleme beim Problemlösen sieht | 293 |
| 21.1 Einleitung | 294 |
| 21.2 Häufig gestellte Fragen und Lösungsansätze zum Problemlösen im Mathematikunterricht | 295 |
| 21.3 Fazit | 306 |
| Literatur | 306 |
| 22 Fortbildungsdidaktische Kompetenz ist mehr als unterrichtsbezogene plus fortbildungsmethodische Kompetenz. Zur notwendigen fortbildungsdidaktischen Qualifizierung von Fortbildenden am Beispiel des verstehensfördernden Umgangs mit Darstellungen | 308 |
| 22. 1 Fortbildungsdidaktik und Fortbildungsmethodik | 309 |
| 22.1.1 Fallbeispiel zum Einstieg: Paula Mais erste Fortbildungen | 309 |
| 22.1.2 Unterschied zwischen Fortbildungsdidaktik und Fortbildungsmethodik und der notwendige gegenstandsbezogene Fokus auf die Teilnehmenden | 312 |
| 22.2 Bezüge verschiedener Kompetenzbereiche zueinander – am Beispiel „Verstehensfördernder Umgang mit Darstellungen für Prozentverständnis“ | 314 |
| 22.2.1 Unterrichtsebene: Bezug von generischem und gegenstandsspezifischem fachdidaktischem Wissen zum verstehensfördernden Umgang mit Darstellungen | 314 |
| 22.2.2 Fortbildungsebene: Quellen fortbildungsdidaktischen Wissens aus der Professionsforschung zu Lehrkräfte-Perspektiven auf den Umgang mit Darstellungen | 316 |
| 22.2.3 Einblicke in Lernwege von Lehrkräften aus dem Forschungs-Projekt MATILDA | 316 |
| 22.2.4 Fortsetzung des Fallbeispiels von Paula Mai | 319 |
| 22.3 Fazit für fortbildungsdidaktische Qualifizierung von Fortbildenden | 320 |
| Literatur | 320 |
| 23 Inklusiver Mathematikunterricht – Herausforderungen bei der Gestaltung von Lehrerfortbildungen | 323 |
| 23.1 Einleitung | 324 |
| 23.2 Überlegungen zur Fortbildungsgestaltung | 325 |
| 23.2.1 Berücksichtigung von zentralen Gestaltungsprinzipien | 325 |
| 23.2.2 Zeitlicher Umfang einer Maßnahme | 326 |
| 23.2.3 Zielgruppen einer Maßnahme | 327 |
| 23.2.4 Auswahl der Inhalte | 328 |
| 23.3 Exemplarische Ergebnisse einer DZLM-Fortbildungsmaßnahme | 329 |
| 23.4 Ausblick | 332 |
| Literatur | 333 |
